微分方程

一、微分方程的一些基本概念

一般地，含有未知函数导数或者微分的方程叫做微分方程，未知函数是一元函数式称为常微分方程

二、一阶微分方程的定义

三、一阶微分方程的分类

• 可分离变量的微分方程
• 齐次微分方程
• 一阶线性微分方程
• 伯努利方程

四、可分离变量的微分方程

定义：形如的方程称为可分离变量的微分方程

两边积分得：

由此得到微分方程的通解(C为任意常数)

Example 1

解：

两边积分得：

Example 2

的特解

解：

代入(0,0)得，

Example 3

解：注意此题有陷阱，应讨论

为微分方程的特解

Exercise 1

解：

Exercise 2

解：

显然 ，那么

当然，如果要求通解的话，没有初始条件，就需要考虑 的情况了

五、齐次微分方程

形如

的方程称为齐次微分方程

解：设

解出 之后，代入即可

Example 1

解：

设

Example 2

设

Example 3

六、可化为齐次微分方程的方程

形如

的方程。

解：显然这将坐标原点平移，置

即

置

当

非齐次方程有唯一解，求出 和 后，解出其次微分方程即可。

Example

解：

待续…