微分方程

一、微分方程的一些基本概念

一般地，含有未知函数导数或者微分的方程叫做微分方程，未知函数是一元函数式称为常微分方程

二、一阶微分方程的定义

$F(x,y,y')=0$

三、一阶微分方程的分类

可分离变量的微分方程

齐次微分方程

一阶线性微分方程

伯努利方程

四、可分离变量的微分方程

def $形如$ 的方程称为可分离变量的微分方程

$\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx \\两边积分得: \int{\frac{dy}{g(y)}=\int{f(x)}dx}+C \\由此得到微分方程的通解(C为任意常数)$

Example

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$

解：

$ydy = xdx \\ 两边积分得 \int{ydy} = \int{xdx} \\ \frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}x^2 +C_0 \\ y^2 = x^2 + C$

Example

$y'=e^{2x-y},y|_{x=0}=0的特解$

解：

$\frac{dy}{dx} = e^{2x-y} \\ e^y dy = e^{2x}dx \\ \int{e^ydy} = \int{e^{2x}dx}+C \\ e^y = \frac{1}{2}e^{2x}+C \\代入(0,0)得，C=\frac{1}{2} \\则e^y=\frac{1}{2}e^{2x}+\frac{1}{2}$

Example

$\frac{dy}{dx} = 2xy^2-y^2\\$

解：注意此题有陷阱，应讨论

$y = 0，\frac{dy}{dx}=0，为微分方程的特解$ $\frac{dy}{y^2} = (2x-1)dx \\ \int{\frac{dy}{y^2}} = \int{(2x-1)dx}+C \\ -\frac{1}{y} =x^2-x+C \\ y =\frac{1}{-x^2+x+C}$

Exercise

$(x+xy^2)dx-(x^2y+y)dy=0$

解：

$x(y^2+1)dx - y(x^2+1)dy = 0 \\ \frac{ydy}{y^2+1}=\frac{xdx}{x^2+1} \\ \int{\frac{ydy}{y^2+1}} = \int{\frac{xdx}{x^2+1}}+C \\ \frac{1}{2}\ln{(y^2+1)} = \frac{1}{2}\ln{(x^2+1)}+C \\ \ln{(y^2+1)} = \ln{(x^2+1)}+C \\ y^2+1 =C(x^2+1) \\ y^2 = Cx^2+C$

Exercise

$xydx+(x^2+1)dy=0\\ y(0)=1$

解：

$显然y \neq 0,那么 \frac{xdx}{x^2+1}=-\frac{dy}{y} \\ \frac{1}{2}\ln{(x^2+1)}+C = -\ln{y} \\ C = -ln1=0 \\ 则 y = (x^2+1)^{-\frac{1}{2}}$

当然，如果要求通解的话，没有初始条件，就需要考虑y=0的情况了

五、齐次微分方程

形如

$\frac{dy}{dx}=\phi(\frac{y}{x})$

的方程称为齐次微分方程

解：设

$dy = udx + xdu \\ \frac{dy}{dx} = u +\frac{xdu}{dx} = \phi(u) \\ \frac{dx}{x} = \frac{du}{\phi(u)-u} \\ \ln|x|+C_1 = \int{\frac{du}{\phi(u)-u}} \\ 解出\phi(u)之后，代入即可$

Example

$\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y} \\$

解：

$\frac{dy}{dx} = \frac{1+\frac{y}{x}}{1-\frac{y}{x}} \\ 设y = ux \\ dy = udx + xdu \\ u + \frac{xdu}{dx}=\frac{1+u}{1-u} \\ \frac{xdu}{dx} = \frac{1+u^2}{1-u} \\ \frac{du(1-u)}{1+u^2} = \frac{dx}{x} \\ arctan u-\frac{1}{2}\ln|u^2+1| = ln|x|+C \\ arctan\frac{y}{x}=\ln|x\sqrt{|\frac{y^2}{x^2}+1|}|+C=\ln\sqrt{x^2+y^2}+C$

Example

$y^2+x^2\frac{dy}{dx}=xy\frac{dy}{dx} \\ \frac{y^2}{x^2}+\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\frac{dy}{dx} \\ 设\frac{y}{x}=u,y=ux \\ u^2=(u-1)(u+\frac{xdu}{dx})=u^2+\frac{xudu}{dx}-u-\frac{xdu}{dx} \\u =\frac{xdu(u-1)}{dx} \\ \frac{dx}{x} = \frac{(u-1)du}{u} \\ \ln|x|+C = u-\ln|u| \\ \ln|ux| = u-C \\ \ln|y| = \frac{y}{x}-C_{0} \\ \ln|y| = \frac{y}{x}+C$

Exercise

$y'=\frac{y}{x}+tan\frac{y}{x} \\ y =ux \\ y' = u+\frac{xdu}{dx}=u+tanu \\ \frac{xdu}{dx} = tanu \\ \frac{du}{tanu} = \frac{dx}{x} \\ \ln|sinu| = \ln|x|+\ln|C| \\ sinu = Cx \\$

六、可化为齐次微分方程的方程

形如

$\frac{dy}{dx}=\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}$

解：

$显然这将坐标原点平移，置X=x+h,Y=y+k \\ \frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX} \\ \frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}=\frac{aX-ah+bY-bk+c}{a_1X-a_1h+b_1Y-b_1k+c_1}=\frac{aX+bY-ah-bk+c}{a_1X+b_1Y-a_1h-b_1k+c_1} \\ 即\frac{dY}{dX} =\frac{aX+bY-ah-bk+c}{a_1X+b_1Y-a_1h-b_1k+c_1} \\置 \pmatrix{a & b \\a_1 &b_1} \pmatrix{h \\ k} = \pmatrix{c\\c_1}$

当

$det\pmatrix{a & b \\a_1 &b_1} \neq 0,非齐次方程有唯一解，求出h和k后，解出其次微分方程即可$

Example

$\frac{dy}{dx} =\frac{2x-5y+3}{2x+4y-6}$

解：

$\pmatrix{2 & 3 \\ 2 & 4} \to \pmatrix{2 & 3 \\ 0 & 1} \to \pmatrix{2 & 0 \\ 0 & 1}$